[分享]计算单自由度振动系统固有频率的3种方法

发表于2021-04-07     7人浏览     1人跟帖     总热度:150  

系统的固有频率是系统振动的重要特性之一,在振动研究中有着十分重要的意义。单自由度系统固有频率的计算常采用以下几种方法。


 1
静变形法


如竖直方向振动的弹簧质量系统,当质体处于静平衡状态时,弹簧的弹性恢复力与质体的重力互相平衡。假定质体的重力为W=mg,弹簧的静变形为δj,弹簧刚度为k,则有:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_1
结合
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_2
可推得
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_3
由上式可以看出,只要测得弹簧的静变形量,就可以计算出系统的固有频率。


 2
能量法


无阻尼自由振动系统没有能量损失,振动将永远持续下去。在振动过程中,动能与弹簧势能不断转换,但总的机械能守恒。因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率。

振动任一瞬时,系统机械能守恒,有:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_4
式中:

T——系统质量的动能;

U——系统弹性变形势能或重力做功产生的势能。
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_5
图1 能量法

如图1所示,任一瞬时质体m的位移为x,则系统的动能为:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_6
该系统的势能为质体m离开平衡位置时弹性恢复力所做的功,即:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_7
此时系统的总机械能为:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_8
当质体m经过平衡位置时,位移x为零,势能等于零,其动能达到最大值,即:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_9
当质体m离开平衡位置达到最大位移处时,速度为零,动能为零,其弹性势能达到最大,即:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_10
由于系统的最大动能与系统的最大势能相等,所以有:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_11
对单自由度无阻尼自由振动,时间历程为:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_12
对时间历程方程式求得,得
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_13
由:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_14
得系统的最大动能为:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_15
由:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_16
可知系统的最大势能为:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_17
由:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_18
得到:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_19
即:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_20
进而有:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_21
能量法可以比较方便地计算出复杂的单自由度系统的固有频率。


 3
瑞利法


上述两种方法,均忽略了弹性元件的质量。但在许多实际问题中,弹性元件本身的质量可能占总重量的一定比例。如果此时忽略部分弹性元件质量,将会导致计算的固有频率偏高。为了计入弹性元件的质量,瑞利(Rayleigh)提出了一种考虑弹性元件质量的近似计算系统固有频率的方法,称为瑞利法。在应用瑞利法时,通常用系统的静态变形曲线代替实际系统的振型曲线,然后采用能量法求解系统的固有频率。实践证明,该方法较精确,误差较小。
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_22
图2 瑞利法

如图2所示,假定弹簧各截面的位移与它离固定端的距离成正比,即与其静态变形情况相同。当质体m位移为x时,则弹簧上离固定端距离为y处的位移为计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_23。当质体m在任一瞬时的速度为计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_24时,弹簧上离固定端距离y处的微段dy的相应速度为计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_25

ρ为弹簧单位长度的质量,弹簧微段dy的质量为ρdy,则弹簧微段dy的动能为:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_26
所以整个弹簧的动能为:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_27
m'=ρl,则:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_28
显然,整个系统的总动能为质体m的动能与弹簧的动能之和。当质体m经过平衡位置时,系统的最大动能为:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_29
系统的最大势能仍与不计弹簧质量的情况相同,即:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_30
由机械能守恒定律可知,Tmax=Umax,即:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_31
如前述,质体m做简谐振动,则有:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_32
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_33
得到:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_34
所以:
计算单自由度振动系统固有频率的3种方法_35
上述计算结果说明,当考虑弹簧质量对系统的影响时,只需把弹簧质量的1/3加入质体m上求解固有频率,便会得到精度较高的近似值。例如,m'=m时,误差仅为0.75%;当m'=0.5m时,这一近似值与准确解比较,误差为0.5%;而当m'=2m时,误差仅为3%。

来源:正脉科工 CAE
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长虹虹老师

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