[分享]结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆

发表于2021-11-07     18人浏览     1人跟帖     总热度:132  

刚度概念的推广



在讲压杆稳定之前,我们先对刚度概念进行一下扩展:一切结构力学问题最终都是力(F)与变形(Δ)的问题,刚度K=F/Δ,F可以为轴力、剪力、弯矩,Δ与之对应分别为轴向位移、剪切角、弯曲角,K最直接的意义是在力的方向上的位移,刚度可以有很多分类,如构件层面抗弯刚度、抗剪刚度、拉压刚度、抗扭刚度,结构层面的层侧移刚度、顶点侧移刚度。如下面左图所示:
 
结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_1结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_2

两端铰结构件中点的水平刚度K为F/Δ,上面右图两层刚架左上顶点的水平刚度K也是F/Δ,但下面杆件所示受力情况和上面两种有着明显的不同,见下图:

结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_3
这个杆件除了中点处与位移Δ同方向的力F外,增加了一个沿杆轴方向的压力P,因为在变形后两个力在杆件中点引起的变形方向相同,所以中点变形Δ会大于没有压力P时的变形。如果我们把力P看作体系固有的一部分,则其中点在F作用下的水平刚度由于力P的影响将变小,同样道理上端点在力P作用点的竖向刚度也由于F的存在而减小,在这个例子中,一个方向的刚度由于与之正交方向另一个的力的影响而减小。

这样我们就把刚度的概念由不受力时的刚度扩展到了事先受到其它力作用时的广义刚度,不受力时的初始刚度用结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_4表示(就是常规意义的刚度,在弹性阶段就是弹性刚度),受力后的总刚度用结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_5表示,我们用两者之差结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_6定义一下新术语结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_7,称为几何刚度或者应力刚度(这样命名是因为结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_8仅取决于轴力与节点几何坐标,与弹性模量、惯性矩无关),用来表示杆件由于轴力作用使侧移刚度降低或者提高的部分,当轴力为压力时为负(理由见上面压杆),当轴力为拉力时为正,可由下图说明,两个壮汉用绳子拉着一个重物,他们用力越大重物向下位移Δ越小,说明拉力增大了绳子中点处竖向位移对应的刚度。
 
结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_9


广义刚度概念理解失稳


稳定问题可以用轴力对刚度的影响来解释,当竖向力P由0增加时,构件中点的侧移刚度逐渐减小,当P增大到使压杆失稳的临界值时,此时中点的侧移刚度减小到0,原因是此时没有水平力F压杆也可以在变形位置保持平衡,相当是F=0使杆件中点发生了位移Δ,结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_10=0/Δ=0,由于初始轴压力的存在导致了杆件失稳的发生,因此失稳可以理解为总刚度变为0,咱们考虑杆件在弹性阶段失稳,弹性刚度结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_11为常量,而结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_12,所以结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_13见下图压杆刚度-轴力关系图:

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横坐标为直杆轴压力,正纵坐标为弹性刚度,它是一个固定值,取决于E、I与节点坐标,负纵坐标为几何刚度,轴力为压力时为负值,因为小变形时力与力产生的效应成正比,所以其正比于轴力,两个刚度之和为结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_15,斜线为总刚度曲线,与轴力为线性关系。用总刚度为0去理解失稳,这个概念简单清晰,可以帮助我们理解各种复杂的失稳问题。

我们还可以从最小势能原理来理解,设初始状态各项势能均为0,变形后变形能为U,P作用点竖向位移为δ,变形状态的总势能由三项之和组成,即:
P·δ+½F·Δ+U
由前述可知,P力达到使压杆失稳临界值时,无需施加力F即可在变形状态保持平衡,(P·δ+U)之和等于0,与初始总势能相等,满足失稳条件,而当存在F时增加了一项负势能,因此总势能小于初始状态,意味着早已失稳不再是平衡状态了。

在两个力同时作用下我们使压杆变形形状与仅力P作用下相同,则U值不变,将P改为结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_16则其产生的负势能为结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_17,差额的结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_18需要由F产生,数值为结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_19,此时侧移刚度结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_20,这就验证了总刚度结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_21和轴力成线性关系,但是大家要注意这个结论在小变形时成立,大变形时为非线性关系。

轴力作用下用总刚度概念去判断失稳这种方法非常直观,易于理解,可以帮助我们定性的去理解稳定问题,在某些情况下甚至可以得到相当精确的量化结果。

结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_22


欧拉压杆屈曲的物理意义


我们研究问题都是从简单到复杂,从理想情况到实际问题,首先我们来考查欧拉压杆,即研究两端铰接挺直杆当轴力达到多大时开始失稳(设其无压缩与剪切变形,只有弯曲变形,这样简化误差很小),我们关注的是从挺直状态到微小变形状态的过程,所以曲率可以用变形曲线的二阶导数y”表示(当有大变形时,精确的曲率公式是结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_23,微小变形时构件    的转动很小,转角的数学表达式是y’,则y'=0,因此分母为1,则曲率为y"),欧拉杆屈曲荷载由欧拉老师在18世纪为我们推出的欧拉公式给出。在理论推导之前,Alex更喜欢先弄清楚这件事的目的是什么,否则会陷入纯数学公式里反而看不清楚它的物理意义,如下图所示:

结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_24

一个两端铰接挺直杆在两个端点受到相向的压力作用,压力从0缓慢增加,我们要求出当力增加到多大的时候压杆会出现稳定的侧向变形,一个直杆加再大的力只会压坏也压不弯,但是实际工程真正加工出来的杆件不可能是理想直杆,而且还有微风、震动等其它各种情况的扰动存在,因为这个压杆实际上是弯曲的,弯曲的挠曲线y可以为任意可能的形状,由微积分知识可知,任意函数都可以分解为不同周期、振幅的正弦波的叠加,如下图所示:

结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_25

 
力P在失稳过程中为常量,变形可看作由扰动力产生,在变形发生后扰动力立刻消失,即力P不是压杆变形的原因,我们需要研究的是多大的力P使压杆以何种形状变形时体系恰好可以保持平衡。

换一种描述方法大家更容易理解,挺直的压杆随时受到侧向微风的扰动使之产生一个很小的变形,当力P很小时,微风来时压杆发生变形,微风停止压杆重新恢复到挺直状态,当压力逐渐增加到某一个值结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_26且微风恰好使其发生某种变形结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_27时,微风停止时我们惊奇的发现此时压杆回不到挺直状态了,这个压力值为第一个压弯平衡荷载,也是最小的平衡荷载,叫做第一屈曲临界荷载,与这个荷载相对应的变形形状叫做第一阶屈曲模态,即上图中第一个半波形变形。

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假设加到第一平衡荷载时恰好没有微风,那压力可以继续增加,仍然时刻受到扰动作用使之产生各种可能的变形,当其由F1增加到F2时,我们又会发现微风停止压杆也回不到挺直状态了,那这个荷载叫做第二个压弯平衡荷载,与之对应的变形形状叫做第二阶屈曲模态。依此类推,我们可以得到第三、四以至无穷个平衡荷载,以及与之相对应的第三、四以至无穷阶屈曲模态。

有的同学会问了,在达到某个临界荷载时正好扰动使杆件产生与之对应的变形是不是太偶然了?有这种可能吗?其实是完全可能的,前面咱们讲过,杆件的加工变形是由无穷个各种形状的函数组合而成的,偶然的外力扰动也可能有无穷的作用形式,与不同的临界荷载对应的变形形态是或小或大的包含于其中的,一经与之相应的荷载激发就会突显出来。就好比一个结构同样有无数个振动模态(即振型),一般状态下,这些振型也都或强或弱的振动着,一经受到与某个振动频率相同的干扰力,这个频率的共振就会发生。这两者道理是一样的。


欧拉压杆的微分方程求解


上面咱们用通俗的大白话讲述了压杆屈曲问题整个过程,大家都有了一个直观、形象的理解,但是如果想要量化的求出屈曲荷载以及屈曲模态,我们还是离不开Newton和Leibniz大神发明的微积分,有人说我们生活的宇宙都可以用一个极其复杂的微分方程来描述,加上时间开始时的初始条件和宇宙边界处的边界条件,我们就可解出宇宙在任一时刻任一位置的应力,微分方程这么NB,解决我们的屈曲问题那更是轻而易举了。

让我们跟着欧拉老师的思路把分析过程走一遍:

结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_29
▲所有人的老师:欧拉

首先我们将杆件受力平衡时的可能的变形形状用一个函数y(x)表示,x为沿杆轴方向的坐标,y为垂直杆轴方向的坐标,既然把变形后的轴线看做一个任意的函数,这样就巧妙的避开了杆件不能弯曲的问题,使得杆件受压时时刻存在扰动使之产生任意的变形这个条件体现到了数学中。

然后采用初中物理我们就已经熟练掌握的隔离法将压杆在任选的一个截面切割开(见前面欧拉压杆图),因为切割出的部分处于静止,则受力平衡,因此可以列出弯矩平衡方程∑M=0,将所有内、外力向切割面中心取矩,力P对下段隔离体产生的弯矩为Py,切割面的内力弯矩为EIy",可得EIy"+P·y=0。

因为此式适用于任意一个截面,且式中只有一个未知函数y的一阶与二阶形式,所以通过微积分可以解出函数y的表达式
结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_30
此表达式在整个杆长范围内都是适用的。将y(0)=y(L)=0这两个边界条件代入y的表达式可以得到结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_31,此式有两个解,一个是A=0,意味着没有扰动,和前提不符舍去,另一个解为结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_32,满足此式的解为结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_33,从而可求得
结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_34,当n取1时可得到最小的临界荷载结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_35,将其代入挠曲线可得
结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_36对应于不同的n值,是不同形状的挠曲线,分别为第1、2、3…阶屈曲模态及相应的临界荷载。

我们看到此方程的解答有两类情况,一类是构件处于挺直状态,一类是构件处于弯曲状态,而弯曲状态又有无数种可能的变形形状,每个变形形状叫做一个屈曲模态,欧拉压杆的前几阶屈曲模态见下图:

结构稳定分析03:负刚度法及欧拉压杆_37
每个屈曲模态对应一个屈曲荷载,其中最小的屈曲荷载即为临界荷载,上面的解答对应微风扰动时各个平衡状态。这个问题在数学中叫做特征值问题,上面就是用平衡法对这个问题的解答。

Alex有时觉的,也经常听到其它同学和我说,对于稳定问题还有其它一些复杂问题,公式看的懂,但是知识体系记不住,在头脑中还是零碎的知识,开始我也挺迷惑,后来就明白了,单靠数学公式的推演是做不到真正理解的,必须真正理解其背后的物理意义,也就是这些知识在头脑中要做到形象化、具体化,才能记的住并且真正的用到工作中。这系列文章就是希望在大家头脑中使稳定概念形象化的努力。
平衡法是力学的基础,一切力学问题都是平衡问题,这是一种精确的方法,对于复杂问题经常用的能量法下节探讨。


来源:结构茶馆
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 发表于2021-11-07   |  只看该作者      

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负刚度法及欧拉压杆初探讨

胖喵

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