结构和构件的稳定问题是结构设计尤其是钢结构最重要的课题，传统的考虑稳定系数及计算长度的一阶分析方法已经不能适应新钢结构的设计要求了。新钢标提出了一阶弹性分析、二阶P-
弹性分析和直接分析法，但这些似乎非常的深奥，本文尝试从简单概念上进行解读，因水平有限，欢迎各位专家提出意见和指导。
稳定问题得从基本构件稳定的欧拉公式谈起。
一：稳定的基本概念（欧拉临界力）
1、我对欧拉临界公式的困惑
大学期间，学到材料力学压杆稳定时有一个很大的困惑。导出欧拉公式的力学模型的压杆是理想的中心直杆，不可能产生实际压杆的因各种误差形成的偏心而的附加弯矩，于是欧拉就假想了一个水平力形成初始的水平变形来模拟实际压杆的误差偏心，从而导出了欧拉公式，见下图：
我当时就想了，咦！给一个假想的小变形
，那多小呢？如果小到接近于0时，岂不是没有意义吗？如果大一些，但这个是个未知数，从数学讲，岂不是随便给一个任意的变形都可以得出欧拉公式吗？这还是符合数学的规律吗？虽然那时有困惑，但大学期间那颗青春躁动的心不可能深入的去研究这些，毕业工作中这个困惑一直跟随者我，几年后参加研究生考试时重新复习了当年的材力、结力和高等数学才弄清了原因，当然这只是个人的理解，请大家批评。 材料力学通过几何物理条件推出了微弯状态下的挠曲线近似微分方程，见下图：
这个微分方程的数学公式里把二阶小量
给略去了，才得出了
的微分方程，二阶小量可以略去的前提是微弯的小变形。如果用语言来描述，就是梁在较小变形的平滑的微微弯曲的状态下，才能用这个近似的微分方程来解答，而这个微弯的状态也正是实际工程中正常使用时的梁的工作状态，所以用这个方程解答是符合工程实际的。假如我们不略去那个微小的量，这个微分方程是无法有解析解的，这种数学叫工程数学，不是严格的数学。 所以用语言描述欧拉公式应该是：
维持压杆微弯状态时平衡的那个竖向力就是欧拉临界力。
2、钢结构教材对压杆稳定的讲述
看下陈绍藩老师的新钢结构教材如何讲解压杆问题稳定的：
考虑轴向压力在水平位移上产生的弯矩造成的水平位移的二次增大叫二阶分析，也叫几何非线性。这个模型里给了一个初始的水平力，看似这个水平力和大小无关，和材料力学的稳定微分方程一样，这个水平力产生的弯曲一定是微微弯曲，即符合近似挠曲线方程力的那个可以略去的条件，否则就不能得出欧拉临界力。 可以这样理解欧拉临界力的概念，当轴力大于等于临界力的时候，微微弯曲的变形在轴力的作用下将产生二次弯矩，二次弯矩产生新的变形，但这个新的变形大于（或等于）原来的微变形，这个新的变形在轴力的作用下再产生一个新的变形，且这个再变形更大于（或等于）原来的那个变形，周而复始直至失稳。而若压力小于欧拉临界力时，初始的变形在压力的作用下产生了新变形，但这个新变形小于原来的变形，压力在新变形上将产生更小的新变形，直至新变形趋向于0，杆件处于小变形叠加（但不无限发展，无穷数列之和为定值）下的稳定状态。
欧拉是通过略去二阶小量而得出了力的平衡的微分方程，解出了临界力公式。如果用计算机数值法来求解理想直杆（给予微小的初始变形）的临界力，就不存在略去二阶小量的问题，是否可以得出和欧拉相同的临界力呢？我认为是的，而且其变形的发展过程应该如上文所述，搞软件的人可以试试。
二：欧拉公式隐含的一个重要的假定
我们在学习欧拉公式的时候很自然的和实际工程的压杆的稳定压力联系起来，但实际压杆的稳定问题包含着断面材料的强度问题，也就是杆件断面材料的应力-应变曲线，即所谓的材料非线性。而欧拉公式仅仅和杆件的弹性模量、截面几何特性、杆件长度（约束关系）有关，和杆件断面材料的强度的特性无关。如果杆件的长度和截面几何特性不变，欧拉公式只和材料的弹性模量有关。
弹模是材料的刚度，本质是胡克定律，但也是材料的强度问题，刚度和强度是一回事也不是一回事。
如果你对这个感到困惑，也是很正常的，下面的这段文字会使你觉的释然：
研究不同刚度的构件及构件组合（结构）的应力和变形的问题是结构问题，结构力学研究的就是结构问题，不是强度问题。包括材料力学和结构力学里的欧拉稳定问题都是结构问题。
欧拉假定的是一个理想的弹性体，其材料的应力应变关系是一条无限长斜线，永远也不存在截面材料破坏或屈服等问题。
我们在理解欧拉公式的时候，需要构想这样的具有理想弹性材料的理想直杆来思考欧拉公式的原理。
这种理想的弹性直杆当遭遇大于欧拉临界力的压力时，微小的侧向力（产生了侧向位移）或存在微小的侧向变形的缺陷时，就会失去继续承载的能力。但其截面不存在破坏问题，因为是理想的弹性体。当荷载去掉后，其还会恢复原状，这就是欧拉理论公式的概念。
虽然实际的解工程材料没有这样的理想材料，但生活中还是存在的这样的东西，比如足球场绿荫荫的小草、橡胶棒、桅杆、鱼竿等。
三：对结构力学教材的困惑和疑问
下面是结构力学教材对欧拉临界力稳定问题的描述
书中描述分支点失稳，当理想线弹性压杆受到小于欧拉临界力时，不发生弯曲变形。
实际上对于理想的没有偏心只受到理想轴力的杆件，无论多大的力，也不会有弯曲，所以欧拉才假设了一个小水平力产生的小变形，使结构处于微弯下的平衡。
书中还描述（下划线）：
实际应该是当微小干扰力
撤除后，偏离原来的平衡状态并不能完全消除，而是减小了并保留下来。过程如下： 产生了位移（包含了小，待后续），轴向力产生了二阶弯矩
,二阶弯矩产生了新的
，但
，当外力撤出后，
保留了下来，而
对于存在初始缺陷的理想弹性直杆，道理和上述类似，只是初始缺陷是不能恢复的，类似是上述过程中的，而不是。所以本质上有初始缺陷和施加微小水平力，概念上没有区别。 所以教材中的图16-1b中的直段就可能是不对了。
图形应该是这样的：
对于教材中的极值点失稳的描述，图16-3中的压力变形曲线应该有失稳后的下降段，见草图所示。而教材所说的大挠度理论的曲线OBC更像考虑材料非线性时的压力变形曲线（下文另说）
这样的理解可以用计算机来模拟一下，采用数值积分的方法，得出的P-曲线应该如草图所示，不会出现教材里面的所谓的分支点失稳的垂直线。 上述纯粹个人理解，请大家指正。
四：压弯构件的稳定计算
上面所说的是轴心受压构件的稳定问题，因为实际的杆有安装制造等缺陷存在了初始偏心和初始弯矩等。利用微弯压杆挠度曲线方程里的二阶小量被忽略，从而导出了欧拉临界力公式：
但大部分的受压构件不仅仅是那个误差的初偏心，而是实实在在的有弯矩的作用，这个实际存在的弯矩产生的挠度在轴向压力下会产生新的弯矩（即二阶弯矩），那压弯构件失稳平衡状态的临界压力是多少呢？
因为这个实际的弯矩造成的挠度一般大于加工安装误差造成的偏心，是不是这种情况下，临界失稳压力会小于理想轴心受压构件的欧拉临界力
呢？ 答案是否定的，两者是一样的。这和我们头脑中的概念似乎不符合了，为什么不同的初始水平挠度得出的欧拉临界压力是一样的呢？还得从欧拉临界力的微分方程的推导来分析。
1、首先欧拉公式的微分方程是假定材料是完全弹性的。
2、假定的初始小偏心的定义不是具体数值，也就是如果初始的偏心不管是加工误差，还是实际存在的弯矩造成的挠度，如果产生的挠度
的一阶导数的可以忽略，都可以导出欧拉临界力公式。钢结构一般的受压构件的工作状态时的挠度一般均小于控制值1/150,如果大于这个，结构就算失效了。如果在这个限制以内，应该都在可以忽略的范围之内。 所以，无论初始缺陷大小和实际弯矩多大，如果构件属于小变形阶段，并且假设材料是弹性的，故推导出的临界力都是相同的。
3、可以按下面的图形理解：
图中可以看出，当压力小于临界力时，结构都可以在某一个变形范围内（小变形）稳定，可以叫做随遇而安。当压力大于等于临界力时，由于二阶影响的不断越来越大的叠加最终导致结构失稳破坏，即使非常微小的变形，也会随着越来越大的叠加赶上大变形的位移导致失稳。
但实际钢结构的情况和上述的分析大不相同，较大的变形往往即使在压力远小于临界力的情况下导致了失稳，而很小的变形可能就不会，这似乎不符合欧拉公式和我们上述的分析了。见下面的钢结构教材所述：
教材中也同样认为当材料是线弹性体时，不论是初始缺陷还是实际的弯矩造成的变形（但必须是小变形），其失稳压力都是欧拉临界力。
但因为材料的弹塑性即材料的非线性，导致断面边缘出现了屈服，造成变形的增加，从而导致过早的失稳破坏。这就是材料的非线性带来的失稳的影响，不过这个无法用解析法求解，只能近似或数值法。
弹性和弹塑性失稳变形曲线对比图如下：
正如超限群里很多大师所说的：
提到稳定问题，很多人会天然理解为欧拉稳定问题，而欧拉稳定公式未包含强度问题。或者换句话说：实际结构的稳定问题已包含强度问题。
欧拉临界力是考虑初始变形和几何非线性的上限解，但初始变形会影响全过程曲线形状；再考虑材料非线性后，全过程分析曲线的极值点会远低于欧拉临界力；基于上述两点，初始变形的大小对实际稳定承载力有敏感影响。
本文只考虑了弹性受压杆的几何非线性，未考虑材料非线性，应该说材料非线性比几何非线性更复杂，几乎不可能有解析解，只好借助于强大的数值解法了。实际上两者从杆件受力变形一开始就纠缠在一起，但之所以先描述几何非线性而暂不论述材料非线性是为了概念上剥茧抽丝的理解，否则很难讲清楚。
在没有计算机数值分析的年代，前辈们利用不同约束条件下计算长度、稳定系数等理论和实践综合考虑了几何和材料非线性。正如某专家所说，传统钢结构稳定设计方法很巧妙地引入了稳定系数FI，将混杂在一起的初始缺陷、几何非线性、材料非线性问题，统一为方便手工计算的经验公式，前辈们的智慧实在是了不起。
注：本文有一版初稿，得到了超限群里的很多大师的指导。初版的文章中没有意识到欧拉公式的线弹性假定的深刻含义，故直接把欧拉公式和实际工程中的钢结构和混凝土轴心受压构件的规范计算进行对比，得出了似是而非模糊的结论，为了使读者能够深刻的理解这一点，特把本文未修正前的该段文字列出，以使读者了解笔者的思维过程。
二：实际工程轴心受压构件的稳定计算
对于实际的轴心受压构件， 如果不考虑构件失稳，其受压承载力为Af
考虑欧拉临界稳定压力时二者之比即为理论稳定系数：
可以把实际压杆的制造偏心和加工缺陷等看做给予理想压杆初始小位移，所以实际压杆也可以用欧拉临界力来理解其稳定压力，当然实际的杆件要复杂的多。我们按理论和规范规定公式计算一个对比的案例：
从上述的构件的对比计算可以得出如下的结论：
（1） 实际钢结构构件的稳定系数小于理论的欧拉临界稳定系数，是规范考虑必要的安全储备，可以认为欧拉公式是实际工程设计的理论依据。
（2）混凝土构件理论上的欧拉临界力比其不考虑稳定的轴心压力还大，从这个角度看出，一般的混凝土柱（层高与柱高之比）其基本不存在失稳，也就是说在失稳之前混凝土柱构件断面已经被压碎了。
（3）造成钢构件和混凝土构件的上述原因是钢材因为其比较高的强度造成构件的长细比往往100以上，而混凝土抗压强度很低，一般设计的构件的长细比在不大于10。混凝土的弹模与强度之比为3000~1000(C15~C80)，而钢材的弹模与强度之比仅为950~500(从强度底到高）。钢材一般是混凝土弹模的9~5倍，而强度是混凝土的十几倍。
弹性模量和构件的整体变形和整体稳定关系比较大，整体稳定和变形是和构件的整体刚度（EI/L)有关，而断面的强度是和截面fA有关。综上所述，混凝土构件不易变形和失稳，弱于断面强度，钢构件强于断面强度，而容易稳定和变形，所以钢结构的稳定和变形是结构设计的关键。
感谢大师们的指导！
2020年11月28号
参考文献：
1：新钢标。
2：高层民用钢结构技术规程。
3：钢结构教材 陈绍藩
4：材料力学教材。
5：结构力学教材。
6：混凝土规范。
7：结构是什么 英戈登
8：《Modeling for Structural Analysis: Behavior and Basics》中译本
筑信达公司李楚舒董事长赠送
9：新钢标解析 王立军
转自公众号：土木吧
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