[分享]重力刚度的本质(续)

发表于2019-07-19    977人浏览    0人跟帖    筑龙币+50  复制链接  只看楼主


在上一期“说桥”中,比较通俗地解释了“重力刚度”的意义,并称其为几何刚度的一种。


文章推出后,引起了许多同仁的兴趣,所以本期拟继续讨论一下这个问题。



从几何非线性理论角度理解

为了阅读方便,把前文的式(3)在这里重复给出:


重力刚度的本质(续)_1
     (3)

为了分析结构刚度,可将Q看作竖向外力P的增量ΔPr则为对应的角位移增量Δt(也是反映竖向变形的变量),R为对应的内力增量ΔT。为简便,设:g1=sin(t0+t)g2=sin(t0+t+Δt)g12=g2-g1g1g2是反映索在不同受力状态下几何构形的函数,因此g12反映的是由于ΔP的作用使索几何构形发生的变化量的函数,且当不考虑几何非线性影响时,该值为零。注意到g2=g12+g1,则式(3)可改写为如下增量形式:

重力刚度的本质(续)_2
   (5)

把方程两边同除以角位移增量Δt,便得到割线刚度表达式如下:

重力刚度的本质(续)_3
    (6)

大家知道,增量形式的割线刚度是指力-位移关系曲线上两个点之间连线的斜率,因此式(6)是索从承受外力P状态变化到承受外力P+ΔP状态这个增量区间的割线刚度(见图5)。式(6)右端第一项是几何构形改变与原有内力TP的作用效应)相互作用产生的竖向刚度,也就是几何非线性理论中的几何刚度(见“李乔说桥-12 再谈桥梁几何非线性”);式(6)右端第二项是几何构形改变与新增内力ΔT相互作用产生的竖向刚度,即几何非线性理论中的大位移刚度。而式(6)右端第三项则是原有几何构形与新增内力ΔT相互作用产生的竖向刚度,即线性刚度。


重力刚度的本质(续)_4

图5 割线刚度

从前一期文中的图3可以看出,索的初始构形为一折线形(图中黑线),相当于由两根杆件组成的桁架,因此具有初始的线性刚度。而如果t0=0,则表示索的初始构形为一连接A和B的水平直线(图6黑线所示),前一期文中的公式(4)*t0=0情况索的切线刚度表达式。从概念上和公式(4)都可以看出,当无外力P时,竖向切线刚度为零。而只要有横向外力P,就会引起角度t,使原来的水平索变成一个桁架,因而考虑非线性效应时就有了竖向刚度。

重力刚度的本质(续)_5

6 初始构形为水平直线的索

t0不等于0情况的切线刚度为如下形式:

重力刚度的本质(续)_6
         (7)

由于式(7)中考虑了初始的角度t0,因此该式所表示的切线刚度包括初始构形(图3中的桁架ACB)的线性刚度。

以上分析为了简单,将外力QP都作用在同一个点C处。若二者不在同一点,例如Q作用在AC之间,则也有类似的特性,只不过此时Q方向的刚度表达式更复杂一些,并且几何构形的变化也不能简单地用tr表示,外力-位移曲线也与图5有所差别。



一般桥梁结构的重力刚度

从上面的分析可以看出,重力刚度只是悬索结构几何刚度的一种,是由恒载重力产生的几何刚度。假如把凡是恒载重力产生的几何刚度都叫作重力刚度,那么除了悬索桥结构以外,其他桥型结构有没有重力刚度?

答案是肯定的。在考虑几何非线性效应时,其他桥型结构因存在几何刚度和恒载重力,因此当然也存在重力刚度。但从几何刚度的表达式可以看出,几何刚度的数值大小及正负(并不一定都是正值)取决于基准状态的内力和几何构形的改变量。在悬索桥以外的其他桥型结构中,由于主要承重结构不是柔性的悬索,重力刚度远比悬索桥结构小,而且很多时候还是负的,即重力刚度起负作用。典型的例子是受压的桥墩柱子,上部结构及自身的重力越大,因非线性侧弯变形引起的附加弯矩就越大,竖向刚度就越小(类似压杆稳定问题)。

对于斜拉桥结构,虽然作为主要承重结构的斜拉索也是柔性索,但从前面的分析可知,重力刚度是指索的两个支点之间的各点抵抗竖向变形的能力,索本身的重量和加劲梁的重量也是作用在支点之间的,而斜拉索利用的是两支点连线方向的刚度,索的自重使这个连线刚度降低,梁的自重作用在索端部,因此在斜拉桥中不能利用重力刚度来抵抗活载变形。

*注:更正:式(4)中括号内第二项原误为+cos2t,应为-cost



来源:公众号“西南交大桥梁”


作者简介:李乔,西南交通大学教授,博士生导师,茅以升桥梁研究所所长,在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事,在土木工程学报等重要学术期刊任编委会委员。




分享至

分享到微信朋友圈 ×

打开微信"扫一扫",扫描上方二维码
请点击右上角按钮 ,选择 

登录后才能评论,评论超过10个字,有机会获得筑龙币奖励!

猜你爱看

分享