边坡稳定性分析是岩土工程的经典问题，而极限平衡法又是经典中的经典，极限平衡法中的瑞典条分法是最早出现的较为成熟的岩土分析方法之一。在早期边坡的稳定性分析方法中，极限平衡法处于一统江湖的垄断地位，时至今日极限平衡法仍以其计算便捷、目标明确的优势而为工程界所广泛采用。但在以有限元法等为代表的数值算法兴起后，极限平衡法的地位受到很大的冲击，甚至有些人员认为其模型过于简单、不能反映演化过程而应将其抛弃。客观地说，极限平衡法一统江湖固然有些落伍，但是弃如敝屣也未免有失公平，因此有必要对极限平衡法的一些概念予以澄清和说明，重新认识极限平衡法的作用和地位，本文尝试在这方面谈几点看法。

一、极限平衡法的特点

1.1核心思想

极限平衡法的核心思想有两点：一是化整为零，即将边坡滑体进行条块划分，并研究条块之间的相互作用，不同的极限平衡法之间的差异就在于条块间相互作用假定的不同；二是极限平衡，即滑体在一定条件下达到极限平衡状态，亦即边坡安全系数Fs=1.0，当然不同方法对边坡安全系数的定义也有差异。

1.2方法的可行性

极限平衡法虽然简单，但是简单并不代表其理论上不严密，在此有两个问题需要说明：一是为何可以选取平面作为边坡剖面进行分析，这是由于在选择计算剖面时通常选取最不利的平面，并且平面忽略了垂直于平面的约束，将其简化为平面应力问题，这使得典型剖面的计算结果更加保守，因此更偏于安全；二是边坡实际所处的弹塑性状态，根据潘家铮上下限原理，岩土体所处状态总是介于上下两个极限之间，对边坡而言，其上限是整个滑体达到塑性状态，下限是仅滑动面达到塑性状态，极限平衡法对应的极限状态首先是使滑面达到塑性状态，滑体则根据不同方法条间力假定的不同而在不同程度上达到塑性状态。基于以上两点，可以看出极限平衡法虽然简单，但是它在一定程度上反映了边坡稳定状态的本质，而且在理论和方法上是严密可行的。

1.3优缺点

极限平衡法的特点即是忽略边坡演化过程，直指特定状态下的稳定分析结果，这个特点既是其优点所在，也是其不足之处，优点在于忽略了边坡岩土本构这个难题，直接分析边坡极限状态下的稳定性；不足在于由于忽略了本构，因此不能分析边坡的变形演化过程，而且只求解边坡整体稳定系数，目的过于单一。当然极限平衡法和数值算法亦存在一个共同问题，即必须在典型剖面上搜索出滑动面，不同之处在于，极限平衡法是通过经验和试算选取安全系数最小的剖面作为滑动面，而数值算法则选取塑性贯通区作为滑动面。

二、安全系数的定义方法

在确定边坡滑动面以后，通过调整滑动面上正应力σ、剪应力τ与强度参数c、φ关系使边坡达到极限平衡状态，根据调整关系的不同衍生出不同的安全系数定义方法，目前公认且应用较多的有以下三种方法：

2.1强度折减法

强度折减法通过折减强度参数c、φ从而使边坡达到极限平衡状态，并将折减的具体数值定义为安全系数Fs。强度折减法是经过多年来的实践被国际工程界广泛承认的一种方法，这种安全系数只是降低抗滑力，而不改变下滑力。同时，用强度折减法也比较符合工程实际情况，许多边坡的发生常常是由于外界因素（如降水、震动等）引起岩土体强度降低而导致岩土体滑坡。

2.2下滑力超载法

下滑力超载法是将滑裂面上的下滑力增大一定倍数使边坡达到极限状态，其增大倍数即为安全系数Fs，也就是增大荷载引起的下滑力项，而不改变荷载引起的抗滑力项。从形式上看，下滑力超载法与强度折减法的表达式基本相同，但是含义并不同，这种定义在国内采用传递系数法显式解求安全系数时应用，不过由于传递系数法显式解还作了一些假定（如下滑力方向假定等），其安全系数计算结果与一般条分法并不完全一致，一般情况下其计算结果偏大。下滑力超载法表达式表明，极限平衡状态时，下滑力增大Fs倍， 一般情况下也就是岩土体质量增大Fs倍，而实际上质量增大不仅使下滑力增大，也会使摩擦力增大，因此下滑力超载法不符合工程实际。

2.3超载储备法

超载储备法是是将荷载(主要是自重)增大Fs倍后，使坡体达到极限平衡状态。超载储备法相当于折减黏聚力c值的强度储备安全系数，对无黏性土 ( c=0) 采用超载储备安全系数显然是不适用的。

2.4其他方法

矢量和法[7]认为边坡滑体的抗滑力和下滑力都是矢量，因此应将抗滑力R和下滑力T的矢量叠加投影到某一计算方向θ后计算安全系数。

三、未知量、平衡方程及引入条间力假定

极限平衡法将边坡滑体划分为n个条块，选取第i个条块进行分析。根据条块是否满足力矩平衡关系又将分析方法划分的严格条分法和不严格条分法，严格条分法的每个条块均满足力和力矩平衡，而不严格条分法则仅满足力平衡。

整个边坡未知量数量分别为：边坡整体安全系数Fs计1个；条底力Ni计n个；条底力Ti计n个；条侧力Ei计n-1个；条侧力Xi 计n-1个；Ei作用高度计n-1个（不严格条分法不考虑条块力矩平衡，Ei作用高度不参与计算，因此未知量计0个）。未知量总数合计5n-2个（不严格条分法为4n-1个）。

整个边坡平衡方程数量分别为：水平力平衡方程计n个；垂直力平衡方程计n个；力矩平衡方程计n个（不严格条分法为0个）；每个条块的局部安全系数均与整体安全系数相等计n个方程。平衡方程合计4n个（不严格条分法为3n个）。

由上述边坡未知量和平衡方程数量可以看出，未知量数量多于平衡方程数量，严格条分法多n-2个，不严格条分法多n-1个。为了便于未知量和平衡方程的求解，因此必须引入条间力假定。引入条间力假定后，n个条块之间将增加n-1个平衡方程，对于严格条分法，未知量和平衡方程数量将分别为5n-2个和5n-1个，由于平衡方程数量比未知量数量多1个，因此必须再引入一个新的未知量参与求解；对于不严格条分法，未知量和平衡方程数量均为4n-1个，因此可以直接求解。

四、几种经典方法述评

4.1瑞典法

假定：不考虑条间力；

适用范围：只适用于圆弧滑面；

求解过程：通过整体力矩平衡求解安全系数；

计算结果：安全系数计算结果偏低10～20%，因此结果偏于保守；

特点：历史悠久，是最早的边坡稳定性分析方法。

4.2简化Bishop法

假定：只考虑水平条间力；

适用范围：只适用于圆弧滑面；

求解过程：条块垂直方向的力平衡和整体力矩平衡求解安全系数；

计算结果：通常情况下计算结果较为精确；

特点：首次采用强度折减定义。

4.3传递系数法（不平衡推力法）

假定：假定剩余下滑力方向为条底倾角方向，并由此确定垂直条间力和水平条间力的比例关系；

适用范围：圆弧、折线滑面均适用；

求解过程：根据条块垂直和水平方向的力平衡求解安全系数，同时根据安全系数不同定义方法分为显示解法和隐式解法。①显式解，根据滑面正应力σ和剪应力τ求解抗滑力和下滑力，并由此计算Fs=f(σ,τ)；②隐式解：根据最后一个条块的剩余下滑力为0，求解f(Fs)=0；

计算结果：若条底倾角变化幅度小于10°，则精度很高；

特点：国产方法，简单实用，国内规范普遍采用，尤其对支挡结构设计时较有意义。

4.4Morgenstern-Price法

假定：假定条间力方向β的函数为tanβ=Xi/Ei=f0(x)+λf(x),引入新参数λ，（若f0(x)=0、f(x)=1，则tanβ=λ，即为Spencer法），通常情况下tanβ的分布规律为是f0(x)线性分布，f(x)取正弦函数；

适用范围：圆弧、折线滑面均适用；

求解过程：根据条块垂直和水平方向的力平衡和力矩平衡求解安全系数；

计算结果：公认比较精确的方法；

特点：由于Morgenstern-Price法为严格条分法，因此引入了新参数λ，λ的物理意义是什么，如何验证条间力是否合理？

五、展望

由于极限平衡法自身理论严密性的需要和工程适用性的拓展，以及数值算法带来的外部压力，近年来许多学者也对极限平衡法进行了不断的改进和研究，具有有以下几个方面的代表性工作：

第一、抛弃原有的条分方法，另起炉灶。如郑宏等[3]提出的无条分法，该方法将域积分转为边界积分，实现无条分，并通过合理简单的滑面正应力修正方法，建立三个力矩平衡方程替代滑块平衡方程组，即取滑面底端、顶端及另外一点组成等边三角形，对三个点求矩，求解时避免力和力矩方程量纲不一致；

第二、对条块局部安全系数等于整体安全系数的基本假定提出质疑。如童志怡等[9]提出的条块安全系数法，认为条块局部安全系数不等于整体安全系数，通过建立新的条间力假定，建立条块力和力矩平衡，并根据条块局部安全系数的分布情况判断边坡的破坏形态；

第三、提出新的边坡安全系数定义方法。如刘艳章、葛修润等提出的基于矢量法的安全系数定义方法[7]；

第四、由二维向三维极限平衡法发展。即将平面条块分析向立体条柱分析推进，研究条柱各个侧面的受力平衡和力矩平衡。

第五、对经典极限平衡法进行改进。如朱大勇等[8]对Morgenstern – Price 法、严格 Janbu 法与 Sarma 法等三种经典方法进行了实质性的改进，基于这些方法的基本假设，重新推导出更为简洁实用的安全系数计算公式。

当然限于作者的学识水平和涉猎范围，可能还有很多其他的研究方向和方法未介绍，这里就付之阙如了。

参考文献

[1]       陈祖煜. 土质边坡稳定性分析[M]. 北京：中国水利水电出版社，2003.

[2]       DUNCAN J M. State-of-the-art: Limit equilibrium and finite element analysis of slopes[J]. Journal of Geotechnical Engineering, 1996, 122(7): 577－596.

[3]       郑宏，谭国焕，刘德富. 边坡稳定性分析的无条分法[J]. 岩土力学，2007, 28(17): 1285－1291.

[4]       郑颖人，赵尚毅. 边（滑）坡工程设计中安全系数的讨论[J]. 岩石力学与工程学报，2006, 25 (9): 1 937－1 940.

[5]       顾宝和，毛尚之. 滑坡稳定分析传递系数法的讨论[J].工程勘察，2006, (12): 8－11.

[6]       郑颖人，时为民，杨明成. 不平衡推力法与Sarma法的讨论[J]. 岩石力学与工程学报，2004, 23(17): 3030－  3036.

[7]       刘艳章，葛修润，李春光，等. 基于矢量法安全系数的边坡与坝基稳定分析[J]. 岩石力学与工程学报，2007, 26(10): 2130－2140.

[8]       朱大勇，李焯芬，黄茂松，等. 对3种著名边坡稳定性计算方法的改进[J]. 岩石力学与工程学报，2005, 24(2): 183－194.

[9]       童志怡，陈从新，徐健等.边坡稳定性分析的条块稳定系数法[J].岩土力学，2009，30(5): 1393－1398.